动态规划

应用

当我们面对一些复杂问题时，动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种常用的算法范式。它通过将原问题分解为子问题，通过求解和保存子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。动态规划算法通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划包含以下基本步骤：

  1. 定义状态： 确定问题的状态，并设计合适的数据结构来表示这些状态。
  2. 找到状态转移方程： 通过分析问题的特性，找到状态之间的转移关系。状态转移方程描述了如何通过已知的子问题的解来求解当前问题的解。
  3. 初始化： 初始化问题的边界情况，通常是最小规模子问题的解。
  4. 递推求解： 使用状态转移方程递推地求解所有子问题，确保已知的子问题的解被保存以避免重复计算。
  5. 计算最终结果： 根据子问题的解，计算并返回原问题的解。

动态规划常用于解决最优化问题，如最长公共子序列、最短路径、背包问题等。以下是一些经典的动态规划应用场景：

  1. 最长公共子序列（LCS）： 找出两个序列中最长的公共子序列。
  2. 最短路径问题： 求解图中两个节点之间的最短路径。
  3. 背包问题： 在给定的一组物品中选择一些物品装入背包，使得装入的物品具有最大的总价值。
  4. 编辑距离： 计算两个字符串之间的最小编辑操作次数，如插入、删除和替换字符，使它们相等。
  5. 斐波那契数列： 使用动态规划可以优化递归计算斐波那契数列的性能。

动态规划算法的核心思想是将复杂问题拆解成子问题，通过保存子问题的解避免重复计算，从而提高效率。它在解决一些涉及最优子结构和重叠子问题的问题时表现出色，是算法设计中的重要工具之一。

斐波那契数列

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背包问题

常见的背包类型主要有以下几种：

  1. 0/1背包问题：每个元素最多选取一次
  2. 完全背包问题：每个元素可以重复选择
  3. 组合背包问题：背包中的物品要考虑顺序
  4. 分组背包问题：不止一个背包，需要遍历每个背包

而每个背包问题要求的也是不同的，按照所求问题分类，又可以分为以下几种：

  1. 最值问题：要求最大值/最小值
  2. 存在问题：是否存在…………，满足…………
  3. 组合问题：求所有满足……的排列组合

因此把背包类型和问题类型结合起来就会出现以下细分的题目类型：

  1. 0/1背包最值问题
  2. 0/1背包存在问题
  3. 0/1背包组合问题
  4. 完全背包最值问题
  5. 完全背包存在问题
  6. 完全背包组合问题
  7. 分组背包最值问题
  8. 分组背包存在问题
  9. 分组背包组合问题

简单题

中等题

困难题

Tip

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